数学老师居然没告诉你这个不用计算器判断整除的奥赛技巧？！
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大家🐶年吉祥！
上次我们介绍了一个超级方便的验算方法，许多小学生中学生看完后大呼原来多位数运算验算还有这种操作。点我回顾这种神之验算法。
今天我们再来解决一个困扰许多人多年的问题——如何在没有计算器的情况下，快速判断一个数能不能被7，9，11，13，...整除呢？
我们知道，判断一个数能不能被2整除很简单嘛，就是看它的个位是不是0，2，4，6，8就可以了。
判断一个数能不能被5整除也很简单，就看它的个位是不是0或者5。
能不能被3整除也很简单，就把一个数包含的所有数字加起来，看看加起来的数字能不能被3整除就可以了。比如12756可以被3整除，因为1 + 2 + 7 + 5 + 6 = 21，21是3的倍数。
9也是一样，一个数如果能被9整除，那么它的每一位加起来一定也可以被9整除。比如23877可以被9整除，因为2 + 3 + 8 + 7 + 7 = 27，27 ÷ 9 = 3。
可是，要判断一个数能不能被更大的数，比如7啊，9啊，11啊整除，似乎就比较麻烦了。没有计算器的情况下有没有轻松判断的方法呢？还真有。
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比如怎么判断一个数能不能被11整除呢？
你需要把这个数的奇数位和偶数位的数分别加起来，然后相减，看看减出来的差是不是11的倍数就可以了。
以39237为例，先把奇数位的数加起来，也就是：
3 + 2 + 7 = 12
接着把偶数位的数加起来，也就是：
9 + 3 = 12
接着两个值相减：
12 - 12 = 0
0是11的倍数，因此39237是11的倍数。不放心的话你可以算一下，就可以发现，39237 ÷ 11 = 3567。
如果我们把39237的2个偶数位的数字换一下，变成33297，它也可以被11整除，因为3 + 9 = 12，和原来那个数字一样。实际上，33297 ÷ 11 = 3027。
通过这个方法我们知道，奇数位的数字随便换位置也不影响它是不是能被11整除；偶数位同理。
这个方法是不是很劲爆？
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13
那么7和13呢？
快速判断一个数能不能被7或者13整除的方法是差不多的，但是比判断是否能被11整除要稍微复杂一点。
假设一个超大的数 149258361，如何判断它是否能被7或11整除呢？
首先把它每3位为一个组分隔开，写成149 258 361，然后把奇数组和偶数组分别相加，然后互相减一减，也就是：
149 - 258 + 361 = 252
因为252能够被7整除，而不能被13整除，因此149258361是7，而不是13的倍数。
如果一个数不能被分成3个一组怎么办，比如 20304050 呢？
这个时候在最左边加上0就可以了，也就是写成 020 304 050
然后奇数组和偶数组分别相加，再相减，也就是：
020 + 050 - 304 = -234
算出来的符号是正还是负不用管。因为 234 是13的倍数，但不是7的倍数，因此 20304050 能被13整除，但不能被7整除。
很显然，这个方法的目的是把一个较大的数转换成一个较小的数，但最后还是需要进行一步手算，而且对于千位以内的数字没用。不过，对于位数不多的数字来说，还是挺方便的。
1
9
那么…19呢？有办法吗？
有啊，方法更加复杂一些。
以 46892 为例。
先去掉它的个位，然后把个位乘以2后加回去，就是这样：
4689 + 2 × 2 = 4693
接着继续重复这个操作（去掉个位数，再把个位数乘以2后加回去），直到最后得到一个2位数：
469 + 2 × 3 = 475
↓
47 + 2 × 5 = 57
↓
5 + 2 × 7 = 19
看到了吗，出现了19，这意味着什么呢？
这意味着，46892能够被19整除。
再来一题：285是否能被19整除？
28 + 2 × 5 = 38
显然38 ÷ 19 = 2，因此285能被19整除。
如果你手头没有计算器，这个方法比传统的暴力除法判断要快很多。
其
它
小学生的你如果活着翻到了这里，说明你是个数学的可造之材。那我建议你把下面的内容看完，在数学中感受你超越年龄的帅气。
实际上，所有个位为9的数字都可以用19的方法，比如29，39，49，…只不过要加的倍数不是2，而依次是3，4，5，…
比如我们试一试319能不能被29整除：
31 + 3 × 9 = 58，而58 ÷ 29 = 2，因此319可以被29整除。
试一试273能不能被39整除：
27 + 4 × 3 = 39，能整除，yeah！
其实呢，检验一个数能不能被11，21，31，41，51，…整除，也可以用这个方法，只不过是减去个位数，而不是加上个位数的倍数，并且个位数的倍数分别是1，2，3，4，…
看看273能不能被21整除：
27 - 2 × 3 = 21，能整除！
看看816能不能被51整除：
81 - 5 × 6 = 51，能整除！
简直作弊啊！！！
证
明
好了，那么可以告诉我们，以上的方法怎么证明吗？
不（超）可（纲）以（了）。求知欲使你进来，求生欲劝你别往下看。
以下是11整除法的快速证明。
注意到了吗，
10 = 1 × 11-1
1000 = 91 × 11 - 1
100000 = 9091 × 11 - 1
...
大声告诉我，它们有什么共同点？
听不到你的声音，从屏幕里钻出来说。
当k为奇数时，10k 除以11余-1。
另外，你班上的学霸经过点拨后也注意到了：
1 = 0 × 11 + 1
100 = 09 × 11 + 1
10000 = 909 × 11 + 1
1000000 = 90909 × 11 + 1
...
好的，这些100...有什么规律呢？你前方的学霸已抢答：
当k为偶数时，10k 除以11余1。
那么，假设一个正整数 N 写成这样，a0 ，a1 ， a2 ， a3 ，...分别是N的个、十、百、千...位的数字：
N = an10n + an-110n-1 + ... + a0 = an(-1)n + an-1(-1)n-1 + ... + a0
（ an 和 n 都是正整数）
第 n+1 位的 an10n 除以11以后，如果 n 是奇数，余 an；如果 n 是偶数，余 -an。N 的每一位都符合这个规律。
也即是说，N 除以11以后，余数正好就是奇数位的和（a0 + a2 + a4 + ...），减去偶数位的和（a1 + a3 + a5 + ...），就是我们刚刚的算法。
看不懂很正常，但不要轻易选择死亡，毕竟，你的高中和大学数学老师已经磨刀霍霍准备传授给你13，17，... 的证明法了，快对着屏幕发誓你一定要坚持到那个时候。
最后，不要一个人承受你这个年纪不该有的奥赛技（yao）巧（shu），把这个学霸看了沉默、学渣看了流泪的技巧转发给你的同学和老师，使他们在人类知识的大厦前低下高贵的头颅吧！
不过瘾，请戳
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图片来源：baidu
参考资料：https://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/10013.5.shtml